复合函数求导公式推导（复合函数求导公式推导）

本文目录

• 复合函数求导公式推导
• 复合函数求导公式是如何推导出来的
• 复合函数的求导公式怎么推出来的
• 复合函数的导数公式是什么
• 复合函数求导公式的过程是怎么推导的

复合函数求导公式推导

复合函数求导公式推导：
F’(g(x)) = [ F(g(x+dx)) - F(g(x)) ] / dx (1)
g(x+dx) - g(x) = g’(x)*dx = dg(x) (2)
g(x+dx) = g(x) + dg(x) (3)

F’(g(x)) = [ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] /dx =
[ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] / dg(x) * dg(x)/dx =
F’(g) * g’(x)
基本函数的求导公式
1.y=c(c为常数) y’=0
2.y=x^n y’=nx^(n-1)
3.y=a^x y’=a^xlna
y=e^x y’=e^x
4.y=logax y’=logae/x
y=lnx y’=1/x
5.y=sinx y’=cosx
6.y=cosx y’=-sinx
7.y=tanx y’=1/cos^2x
8.y=cotx y’=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y’=1/√1-x^2
10.y=arccosx y’=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y’=1/1+x^2
12.y=arccotx y’=-1/1+x^2

复合函数求导公式是如何推导出来的

你的证明是错误的，有两个地方；

1. u+du=g(x+dx)，？？，由u=g(x)能推出吗？，你好像是为了凑出结论而编出的，这只是形式上的问题，尚不太严重，严重的是下面这个，这涉及到基本概念。

2.  ( f(g(x+dx)) - f(g(x) ) /dx  = f’(x) ？？，就算左边有这样一个式子，它等于右边吗？这个写法是将y直接看成了x的函数。按设定，y=f(u),u=g(x)，y是u的函数【不论有没有u=g(x)】，我们能看到的是y随u的变化，我们针对y的任何运算【包括求导】只能针对u，只是因为u=g(x)，我们才认为y实质上是随x变化的，尽管实质上是这样的，但我们无法对y的运算直接针对x，只能通过中介u而达到。

3. 讲到复合函数求导，那通常的非复合函数的求导就先确定了才行。导数是因为微分的存在而存在【导数是两个微分的比值】。dy=f‘(u)du,du=g’(x)dx,所以，dy=f‘(u)×g’(x)dx，dy/dx=f‘(u)×g’(x)【通过这个链式法则，通过中介，我们间接的找到了实质上y与x的关系】。【注意：dy=f‘(u)du,du=g’(x)dx,这两个式子不论前面的u与后面的u有没有关系，都成立，一定要独立的看。如有关系，是一个u，则链式法则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)成立，否则dy/dx就没有意义。】

4. 你的推导方式：用取极限的方法用在复合求导上太繁琐【不是说不行】，因复合求导是基本概念求导上的二级概念，用基本概念推二级概念易懂，取极限的方法与二级概念隔了一层就繁琐。

   第一部分也许说的不对，你主要看一些思路吧，仅供参考。

复合函数的求导公式怎么推出来的

我是一名高中生，也没学过什么大学课本，但我可以帮你解决这个问题，导数是什么，是k,k是什么。是（y1-y2)÷（x1-x2).那么对于一个复合函数。（z1-z2)÷（y1-y2)的值乘以（y1-y2)÷（x1-x2)等于（z1-z2)÷（x1-x2).所以可证明书上公式。

复合函数的导数公式是什么

.常用导数公式
1.y=c(c为常数)
y’=0
2.y=x^n
y’=nx^(n-1)
3.y=a^x
y’=a^xlna
y=e^x
y’=e^x
4.y=logax
y’=logae/x
y=lnx
y’=1/x
5.y=sinx
y’=cosx
6.y=cosx
y’=-sinx
7.y=tanx
y’=1/cos^2x
8.y=cotx
y’=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
y’=1/√1-x^2
10.y=arccosx
y’=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
y’=1/1+x^2
12.y=arccotx
y’=-1/1+x^2
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y’=f’[g(x)]•g’(x)『f’[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g’(x)中把x看作变量』
2.y=u/v,y’=u’v-uv’/v^2
3.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y’=1/x’
证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到
y=e^x
y’=e^x和y=lnx
y’=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道，当a=e时有y=e^x
y’=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。
可以知道，当a=e时有y=lnx
y’=1/x。
这时可以进行y=x^n
y’=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y’=e^nlnx•(nlnx)’=x^n•n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.类似地，可以导出y=cosx
y’=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y’=[(sinx)’cosx-sinx(cos)’]/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y’=[(cosx)’sinx-cosx(sinx)’]/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x’=cosy
y’=1/x’=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x’=-siny
y’=1/x’=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x’=1/cos^2y
y’=1/x’=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x’=-1/sin^2y
y’=1/x’=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
4.y=u土v,y’=u’土v’
5.y=uv,y=u’v+uv’
均能较快捷地求得结果。

复合函数求导公式的过程是怎么推导的

证明如下：

假设我们要求f(g(x))对x的导数，且f(g(x))和g(x)均可导。

首先，根据定义：当h-》0时，g’(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，当h-》0时，lim(g(x+h)-g(x))/h-g’(x)-》0

设v=(g(x+h)-g(x))/h-g’(x)

就有：g(x+h)=g(x)+(g’(x)+v)h

同理：f(y+k)=f(y)+(f’(y)+u)k

所以，f(g(x)+[g’(x) + v]h)=f(g(x))+[f’(g(x))+v]*[g’(x)+v]h （其实就是y=g(x),k=[g’(x) + v]h）

所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f’(g(x))+u]·[g’(x)+v]h−f(g(x)))/h

=[f’(g(x))+u]·[g’(x)+v]

当h-》0时，u和v都-》0，这个容易看。

所以当h-》0时，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f’(g(x))+0]·[g’(x)+0]

=f’(g(x))·g’(x)

然后f’(g(x))=f’(g(x))·g’(x)

证毕

简介

不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当Mx∩Du≠Ø时，二者才可以构成一个复合函数。
设函数y=f(u）的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u。

有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。